Dropbox API でファイルをアップロードするコードを、ネット上で探したところ、大抵は次のようなものでした。

import dropbox

dbx = dropbox.Dropbox(dropbox_access_token)
with open(myfile_path, 'rb') as f:
    try:
        dbx.files_upload(f.read(), dropbox_path)
    except:
        print('--- API error ---')

これで一応 Dropbox へファイルをアップロードできるのですが、アップロードされたファイルのタイムスタンプはアップロードがおこなわれた日時になります。
タイムスタンプが気にならなければこれでいいのですが、ログファイルなど場合、元のファイルと違っているとちょっと気になります。
そこで、こちらのサンプルコードを参考にして、ファイルの更新日時を保持しながらアップロードするコードを書いてみました。

import dropbox
import os
import time
import datetime

mtime = os.path.getmtime(myfile_path)
dbx = dropbox.Dropbox(dropbox_access_token)
with open(myfile_path, 'rb') as f:
    try:
        dbx.files_upload(
            f.read(),
            dropbox_path,
            mode=dropbox.files.WriteMode.overwrite,
            client_modified=datetime.datetime(*time.gmtime(mtime)[:6]),
            mute=True)
    except:
        print('--- API error ---')

これで Dropbox へのアップロード時に元のファイルの更新日時が保持されます。ただし、ファイルの作成日時は保持することができず、Dropbox 上のファイルの作成日時はアップロードされた日時になります。これは仕様上やむを得ないことかもしれません。